在三维变换中，经常要用到旋转变换，而且很多变换是围绕任意轴的。那么下面就介绍绕任意单位轴旋转的两种方法。

假设要旋转的角度是a，围绕的轴是r。

 

方法一：

（1）构建新的基

寻找另外两条单位长度的坐标轴s、t，他们相互垂直，而且与r垂直。这样r、s、t组成了一组新基。

具体求s的方法：

找到r中的最小分量，将其设置为0.然后交换其他两个分量，接着将第一个非零的分量取反（实际上也可以对另外一个非零分量取反）。

要求t，只需求r、s的叉积即可。

详细计算公式：

 

这样就确保了r、s、t组成了一组正交单位基。

 

（2）将标准基变换到新的基。

需要通过变换使得r和x轴重合，这样之后的旋转就是绕x轴的普通旋转。另外的两个轴也相互重合。

变换矩阵由上面的r、s、t向量组成：

 

（3）旋转

因为r与x重合，在新的基中我们只需围绕x轴进行旋转（正常情况下的旋转）即可。

假设旋转矩阵是Rx(a)。

 

（4）变换回到原来的标准基。

变换矩阵应该是M的逆矩阵，由于M是正交的，因此其逆矩阵就是其转置矩阵。

 

因此，最终的绕任意单位轴的变换矩阵是：

 

方法二

根据Goldman给出的公式进行计算，这个公式有点复杂：

 

具体推导过程可以参考：

 

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